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Ela até pode fazer isso, mas será difícil conseguir.
A obrigação do pagamento de pensão alimentícia para os filhos se encerra quando eles completam 18 anos de idade, ou seja, quando se tornam maiores de idade perante a lei e, em tese, devem se sustentar sozinhos.
Após completar 18 anos de idade, o jovem pode continuar a receber pensão se estiver fazendo faculdade e mostrar necessidade em receber o valor da pensão.
No seu caso, como a pessoa já completou 18 anos de idade, é ela quem deve entrar com o pedido de pensão, e não sua mãe. Caso entre mesmo com o processo, o jovem deverá mostrar ao juiz que, por conta da faculdade, não consegue se sustentar sozinho e necessita de pensão para sobreviver.
Supondo que o juiz conceda a pensão, o jovem irá receber até completar a faculdade ou fizer 24 anos de idade, o que acontecer primeiro. Depois dessa idade, não é possível pedir pensão.
Outra coisa importante é que, caso o juiz conceda o pedido de pensão, a obrigação de pensão será daquele momento para a frente, não havendo nenhum valor em atraso antes disso. Portanto, o seu familiar não poderá ser cobrado de nada até o juiz decretar a pensão.
Espero ter te ajudado. Caso surjam mais dúvidas, não hesite em nos perguntar.