Boa tarde, Gimay.
Veja bem, o IPTU é dever do proprietário do imóvel pagar. No entanto, o proprietário pode impor ao locatário que o pague, de acordo com a lei das locações. Mas, para que o inquilino pague o IPTU, isso deve estar claramente previsto em um contrato. Com isso: locatário somente deve pagar o IPTU se esta obrigação estiver expressa no contrato de locação.
Ou seja, se nada constar do contrato (ou, ainda, se o contrato for verbal e, portanto, não existe nenhuma previsão registrada), o proprietário pagará normalmente o imposto, não podendo cobrar o valor do locatário.
Sendo assim, o contrato deverá ser respeitado, independente de você morar há mais de 1 ano ou não. Se essa obrigação de pagar for sua e você não o fizer o locador poderá promover uma "ação de despejo por falta de pagamento" e, de duas uma: ou voce pagará o valor devido, ou ocorrerá o despejo. Boa sorte na resolução do caso.